Метод эквивалентных преобразований цепи. Метод преобразования схем. Расчёт при смешанном соединении устройств

2. Метод преобразования (свертки) схемы

Если схема электрической цепи содержит только один источник энергии (E или J ), то пассивная часть схемы может быть преобразована (свернута) к одному эквивалентному эле-менту R Э (рис. 7).

Свертка схемы начинается с самых удаленных от источника ветвей, про-водится в не-сколько этапов до достижения полной свертки. После полной свертки схемы определяется ток источника по закону Ома: . Токи в ос-тальных элементах исходной схемы находятся в процессе об-ратной развертки схемы. Такой метод расчета токов получил название метода последова-тельного преобразования (свертки) схемы.
При применении данного метода возможны следующие виды преобразо-ваний.
1) Последовательное преобразование заключается в замене нескольких элементов, включенных последовательно, одним эквивалентным (рис. 8). Несложно доказать, что при этом справедливы следующие соотношения:
и

2) Параллельное преобразование состоит в замене нескольких элемен-тов, вклю-чен-ных параллельно, одним эквивалентным (рис. 9). Несложно доказать, что при этом справедливы следующие соотношения:
и
Для двух элементов: и


3) Взаимное преобразование схем звезда -треугольник (рис. 10) возни-кает при свертке сложных схем.
Условием эквивалентности двух схем являются равенства для них токов (I 1, I 2, I 3), на-пряжений (U 12, U 23, U 31) и входных сопротивлений (R 12, R 23, R 31) и соответственно входных проводимостей (G 12, G 23, G 31).
Приравняем входные сопротивления для обеих схем со стороны двух произвольных ветвей при отключенной третей (рис. 10):

(1)
(2)
(3)

Сложим почленно уравнения (1) и (3) и вычтем из суммы уравнение (2), получим:
, по аналогии: , .
Приравняем входные проводимости для обеих схем со стороны произ-вольной вер-шины и двух других вершин, замкнутых накоротко (рис. 11):
(4)
(5)
(6)
Сложим почленно уравнения (4) и (5) и вычтем уравнение (6), получим:
, по аналогии: , .
В последних уравнениях заменим проводимости на соответствующие им сопротивле-ния , получим:
; ; .

При наличии полной симметрии соотношение между параметрами экви-валентных схем составляет:.
4) Замена параллельных ветвей эквивалентной ветвью (рис. 12) осу-ществляется со-гласно теореме об эквивалентном генераторе.

Этот метод применим либо к отдельным участкам сложной электрической цепи, либо к электрической цепи, в которой действует один источник. Проведя по определенным правилам эквивалентные преобразования, можно свести электрическую цепь к виду:

Зависит от способа соединения пассивных элементов.

Самостоятельно!!! Рассмотреть: последовательное, параллельное, смешанное соединение и соединения «треугольником» и «звездой».

План каждого соединения:

– схема соединения;

– основные свойства этого соединения;

– формулы эквивалентных преобразований;

– пример.

1. Волынский В.А. и др. «Электротехника», 1987 г. (С. 37-41);

2. Электротехника под ред. В. Г. Герасимова. С. 22-27.;

3. Касаткин «Электротехника».

В зависимости от назначения электрической цепи ее элементы (источники, приемники, вспомогательные элементы) могут соединяться различным образом. Существует четыре основных вида соединений элементов: последовательное, параллельное, «треугольником», «звездой» и смешанное.

1. Последовательным называется соединение, при котором ток в каждом элементе один и тот же. При последовательном соединении n пассивных элементов цепи. Схема замещения с n резистивными элементами может быть заменена эквивалентной схемой с одни резистивным элементом.

Например:

2. Параллельным называется соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, то есть находятся под воздействием одного и того же напряжения.

Рис. Схема замещения цепи с параллельным соединением пассивных элементов и ее эквивалентная схема

Ток в каждой ветви определяется напряжением и сопротивлением:

.

Условия эквивалентности будут соблюдены, если ток эквивалентной схемы будет равен току в неразветвленной части цепи, то есть .

В результате получаем:

,

из которой получают формулу для эквивалентного сопротивления:

или для эквивалентной проводимости:

Эквивалентное сопротивление параллельно соединенных элементов обратно пропорционально ее эквивалентной проводимости:

поэтому оно всегда меньше наименьшего из сопротивления цепи.

Если параллельно соединены n ветвей с одинаковыми сопротивлениями R , то их эквивалентное сопротивление будет в n раз меньше сопротивления каждой ветви, то есть .

Параллельное соединение обеспечивает одинаковое напряжение на всех включенных приемниках.

3. Смешанное соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюю по отношению к нему часть схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов.

Для расчета такой цепи удобно преобразовать ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов.

Между узлами a и b включены 3 резистивных элемента с сопротивлениями , и .

После замены параллельного соединения резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением

получается эквивалентная схема с последовательным соединением двух резистивным элементов и .

Ток в неразветвленной части: .

Токи в параллельных ветвях:

4. В некоторых сложных электрических цепях встречаются соединения элементов, которые нельзя отнести к вышеперечисленным. Типичным примером подобной сложной цепи является мостовая цепь.

Рис. Схема замещения мостовой цепи и ее эквивалентная схема

В этом случае часть цепи образует «треугольник», вершинами которого являются три узла (a , b , c ), а сторонами – три ветви с сопротивлениями , , , включенных между этими узлами. Расчет такой цепи удобно проводить, используя эквивалентную замену трех ветвей, соединенных «треугольником», тремя ветвями, соединенными трехлучевой «звездой». При замене соединения «треугольником» ветвей с сопротивлениями , , ветвями с сопротивлениями , , , соединенных «звездой», мостовая цепь преобразовывается в цепь с последовательным и параллельным соединением элементов.

Для определения сопротивления , , ветвей, соединенных «звездой», необходимо найти соотношения, связывающих их с сопротивлениями ветвей, соединенных «треугольником». С этой целью воспользуемся общим условием эквивалентности, по которым напряжения и токи в ветвях, не подвергнутых преобразованию, должны оставаться без изменения в любых режимах, в точности при размыкании ветвей, присоединенных к узлам a , b , c .

При отсоединении ветви с сопротивлением от узла a токи , а также напряжение равны соответствующим токам и и напряжению в схеме (б), то есть сопротивления между точками b и c для обеих схем (а) и (б) одинаковы.

Метод эквивалентных преобразований заключается в том, что электрическую цепь или ее часть заменяют более простой по структуре электрической цепью. При этом токи и напряжения в непреобразованной части цепи должны оставаться неизменными. В любое последовательное соединение может входить произвольное число сопротивлений (резисторов) и источников ЭДС, а также не более одного источника тока.

Наличие более одного источника тока в соединении исключается вследствие логического противоречия, т.к. в последовательном соединении через все элементы протекает одинаковый ток и этот ток равен току источника. Если же источников тока несколько, то они должны формировать несколько различных токов, что невозможно по характеру их соединения. Присутствие источника в соединении означает лишь то, что ток в этом соединении задан, поэтому без ущерба для общности выводов источник тока можно вынести за пределы соединения и не рассматривать. Тогда в общем случае в соединение будут входитьm сопротивлений и n источников ЭДС (рис а). Не изменяя режима работы соединения, их можно переместить так, чтобы образовались две группы элементов: сопротивления и источники ЭДС (рис. б). Для этой цепи можно написать уравнение Кирхгофа в виде:

U=IR1+IR2+…+IRm+E1+…-En-1+En=I(R1+R2+…Rm)+E1…-En-1+En=IR+E

Таким образом, любое последовательное соединение элементов можно представить последовательным соединением одного сопротивленияR и одного источника ЭДС E Причем, общее сопротивление соединения равно сумме всех сопротивлений

а общая ЭДС – алгебраической сумме

6.Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчеты электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Допустим, что в схеме n узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно зазамлить, т. е.принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n-1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю I1+I2+I3+…+In=0

7.Метод двух узлов

Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы. Схема имеет два узла. Потенциал точки 2 примем равным нулю φ2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.

φ1(g1+g2+g3)- φ2(g1+g2+g3)=E1g1-E3g3

U12= φ1- φ2= φ1= (E1g1-E3g3)/g1+g2+g3, где

g1=1/R1, g2=1/R2, g3=1/R3 – проводимости ветвей

В общем виде

В знаменателе формулы - сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе - алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком "плюс", если она направлена к узлу 1, и со знаком "минус", если направлена от узла 1.После вычисления величины потенциала φ1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.

8 .Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схмы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей. Т. о., метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было составить для схемы по второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.I1R1+I2R2=E1+E2

Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно. Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид: I11(R1+Ri1)+I11R3-I22R3=E1,

I22(Ri2-R2)+I22R3-I11R3=-E2 Перегруппируем слагаемые в уравнениях I11(R1+Ri1+R3)-I22R3=E1=E11, -I11R3+I22(Ri2+R2+R3)=-E2=E22 Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура. Cобственные сопротивления контуров схемы R11=R1+Ri1+R3, R22=Ri2+R2+R3 Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров. R12=R21=R3 где R12 - общее сопротивление между первым и вторым контурами;R21 - общее сопротивление между вторым и первым контурами.E11 = E1 и E22 = E2 - контурные ЭДС.В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом I11R11+I22R12=E11, I11R21+I22R22=E22 Собственные сопротивления всегда имеют знак "плюс".

Общее сопротивление имеет знак "минус", если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак "плюс", если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению. Решая уравнения совместно, находим контурные токи I11 и I22 , затем от контурных токов переходим к токам в ветвях. I1=I11, I2=I22,I3=I11-I22.

9.Метод наложения. Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными. Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается

соотношением:Здесь- комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях;- комплекс взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом, что непосредственно вытекает из свойства взаимности. Аналогично определяются коэффициенты передачи тока, которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.

Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.

Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например, то получим(2),где

-определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов;- алгебраическое дополнение определителя.Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в один-й контур, т.е. контурный токбудет равен действительному токуh-й ветви, то принцип наложения справедлив для токовлюбых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.

2.2. Параллельное соединение элементов
электрических цепей

На рис. 2.2 показана электрическая цепь с параллельным соединением сопротивлений.

Рис. 2.2

Токи в параллельных ветвях определяются по формулам:

где - проводимости 1-й, 2-й и n-й ветвей.

В соответствии с первым законом Кирхгофа, ток в неразветвленной части схемы равен сумме токов в параллельных ветвях.

Эквивалентная проводимость электрической цепи, состоящей из n параллельно включенных элементов, равна сумме проводимостей параллельно включенных элементов.
Эквивалентным сопротивлением цепи называется величина, обратная эквивалентной проводимости

Пусть электрическая схема содержит три параллельно включенных сопротивления.
Эквивалентная проводимость

Эквивалентное сопротивление схемы, состоящей из n одинаковых элементов, в n раз меньше сопротивлений R одного элемента

Возьмем схему, состоящую из двух параллельно включенных сопротивлений (рис. 2.3). Известны величины сопротивлений и ток в неразветвленной части схемы. Необходимо определить токи в параллельных ветвях.

Рис. 2.3 Эквивалентная проводимость схемы

,

а эквивалентное сопротивление

Напряжение на входе схемы

Токи в параллельных ветвях

Аналогично

Ток в параллельной ветви равен току в неразветвленной части схемы, умноженному на сопротивление противолежащей, чужой параллельной ветви и деленному на сумму сопротивлений чужой и своей параллельно включенных ветвей.

2.3.Преобразование треугольника сопротивлений
в эквивалентную звезду

Встречаются схемы, в которых отсутствуют сопротивления, включенные последовательно или параллельно, например, мостовая схема, изображенная на рис. 2.4. Определить эквивалентное сопротивление этой схемы относительно ветви с источником ЭДС описанными выше методами нельзя. Если треугольник сопротивлений R1-R2-R3, включенных между узлами 1-2-3 заменить трехлучевой звездой сопротивлений, лучи которой расходятся из точки 0 в те же узлы 1-2-3, эквивалентное сопротивление полученной схемы легко определяется.

Рис. 2.4 Сопротивление луча эквивалентной звезды сопротивлений равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений всех сторон треугольника.
В соответствии с указанным правилом, сопротивления лучей звезды определяются по формулам:

Эквивалентное соединение полученной схемы определяется по формуле

Сопротивления R0 и Rλ1 включены последовательно, а ветви с сопротивлениями Rλ1 + R4 и Rλ3 + R5 соединены параллельно.

2.4.Преобразование звезды сопротивлений
в эквивалентный треугольник

Иногда для упрощения схемы полезно преобразовать звезду сопротивлений в эквивалентный треугольник.
Рассмотрим схему на рис. 2.5. Заменим звезду сопротивлений R1-R2-R3 эквивалентным треугольником сопротивлений RΔ1-RΔ2-RΔ3, включенных между узлами 1-2-3.

2.5. Преобразование звезды сопротивлений
в эквивалентный треугольник

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника сопротивлений равно сумме сопротивлений двух прилегающих лучей звезды плюс произведение этих же сопротивлений, деленное на сопротивление оставшегося (противолежащего) луча. Сопротивления сторон треугольника определяются по формулам:

Эквивалентное сопротивление преобразованной схемы равно

НОВОСТИ ФОРУМА Рыцари теории эфира

30.12.2019 - 19:19: -> - Карим_Хайдаров. 30.12.2019 - 19:18: -> - Карим_Хайдаров. 30.12.2019 - 16:46: -> - Карим_Хайдаров. 30.12.2019 - 14:54: -> - Карим_Хайдаров. 29.12.2019 - 16:19: -> - Карим_Хайдаров. 26.12.2019 - 07:09: -> - Карим_Хайдаров. 23.12.2019 - 07:44: -> - Карим_Хайдаров. 23.12.2019 - 07:39:

Неразветвлённая электрическая цепь характеризуется тем, что на всех её участках протекает один и тот же ток, а разветвлённая содержит одну или несколько узловых точек, при этом на участках цепи протекают разные токи.

При расчётах неразветвлённых и разветвлённых линейных электрических цепей постоянного тока могут быть использованы различные методы, выбор которых зависит от вида электрической цепи.

При расчётах сложных электрических цепей во многих случаях целесообразно производить их упрощение путём свертывания, заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением с помощью метода эквивалентных преобразований электрических цепей.

Рис. 1.1 Рис.1.2

Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений

(рис. 1.1) заменяется при этом цепью с одним эквивалентным сопротивлением R эк (рис. 1.2), равным сумме всех сопротивлений цепи:

где R 1 , R 2 , R 3 ,…, R n - сопротивления отдельных участков цепи. При этом ток I электрической цепи сохраняет неизменным своё значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током. Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их последовательном соединении распределяются пропорционально сопротивлениям отдельных участков:

Рис. 1.3 Рис. 1.4

При параллельном соединении сопротивлений все сопротивления находятся под одним и тем же напряжением U (рис. 1.3). Электрическую цепь, состоящую из параллельно соединённых сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным сопротивлением R эк (рис. 1.2), которое определяется из выражения:

обратных сопротивлениям участков параллельных ветвей электрической цепи (сумма проводимостей ветвей цепи); R к − сопротивление параллельного участка цепи; q эк − эквивалентная проводимость параллельного участка цепи,

n – число параллельных ветвей цепи. Эквивалентное сопротивление участка цепи, состоящего из одинаковых параллельно соединённых сопротивлений, При параллельном соединении двух сопротивлений R 1 иR 2 эквивалентное coпротивление

а токи распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям, при этом U = R 1 I 1 = R 2 I 2 = R 3 I 3 =…= R n I n .

При смешанном соединении сопротивлений (рис. 1.4), т. е. при наличии участков электрической цепи с последовательным и параллельным

соединением сопротивлений, эквивалентное сопротивление (рис. 1.2) цепи

определяется в соответствии с выражением:

Литература. ГОСТ Р 52002 – 2003; с. 15 – 18, 22 − 26;

с. 14 – 17; с. 18 – 23, 25 – 29.

Пример решения

Определитьобщее эквивалентное сопротивление R эк и распределение токов в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.5). Сопротивления резисторов R 1 =R 2 =1 Oм ; R 3 =6 Oм ; R 5 =R 6 =1 Oм ; R 4 =R 7 =6 Oм ; R 8 =10 Oм ; R 9 =5 Oм ; R 10 =10 Oм . Напряжение питающей сети U=120 В .

Решение . Сопротивление участка цепи между узлами 1 и 4 :

1" и 3 цепи:

Сопротивление участка между узлами 1"" и 2 цепи:

Эквивалентное сопротивление всей электрической цепи:

Ток в неразветвлённой электрической части цепи:

Напряжение между узлами 1 и 2 цепи в соответствии со II законом Кирхгофа .